Expression du terme général en fonction de n

Propriété Terme général d'une suite arithmétique

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\).
Son terme général \(u_n\) est : \(\boxed{u_n=u_0+n\times r = u_0+nr}\).

Le schéma suivant illustre la situation :

Exemple

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de premier terme \(4\) et de raison \(2\). Alors le terme général est donné, pour tout entier naturel \(n\), par \(u_n=u_0+nr=4+n\times2=4+2n\).

Cela permet de calculer très rapidement les termes de la suite, par exemple :

• \(u_{31}=4+2\times31=4+62=66\)
  
• \(u_{56}=4+2\times56=4+112=116\)
  

On voit ainsi l'intérêt de connaître le terme général de la suite.

Remarque

Dans certains cas, le premier terme de la suite arithmétique \((u_n)\) n'est pas \(u_0\) mais \(u_1\).
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a \(\boxed{u_n=u_1+(n-1)r}\) .

La schéma suivant illustre la situation :